Facebook och Wikipedia som måttrum

Fortsätter från tidigare inlägg om rummen (F,T) och (W,T). Tänkte framför allt hålla mig till (F,T) den här gången.

Vi har slagit fast att (F,T) är ett metriskt rum. Nu tänkte jag skapa ett mått på rummet, så att det blir ett måttrum. Målet med måttet är att mäta hur “sammankopplade” olika grupper av människor är.

Jag börjar med att gå tillbaka till det tidigare definierade länk-predikatet. Två element (personer) i (F,T) är länkade ifall det går att koppla samman dem genom vänskapsrelationer på Facebook. Värdet på länken är antalet personer som den går igenom. Sen definierades d(a,b) som inf{L | L är länk(a,b)}.

För att kunna definiera ett mått behöver vi en så kallad sigma-algebra, vars element måttet definieras för. I detta fallet består min sigma-algebra A av alla underrum (subspace) till (F,T).

För att kontrollera ifall A verkligen är en sigma-algebra kontrollerar vi följande:

(i) att F är i A.
(ii) att ifall B är i A, så är komplementet (F B) i A.
(iii) att unionen av en uppräknelig mängd B i A också är i A.

Alla tre axiom uppfylls trivialt av A, eftersom A är mängden av alla underrum till (F,T).

Nästa steg är att definiera själva måttet. Jag börjar med att definiera vad jag kallar en storlek av en boll i (F,T); storleken av Bd(x,ε) är antalet punkter inuti Bd(x,ε).

Jag definierar μ(B) som summan av storleken av de största bollar man kan skapa runt varje punkt i B, så att bollen bara innehåller punkter i B. Se bilden nedan för exempel på vad jag menar.

Här ser vi tre av de granskade bollarna – Bd(b1,1), Bd(b2,2), Bd(b3,3)

Då blir alltså μ(B) = ΣbϵB(sup{storlek Bd(b,ε) | ∀xϵBd(b,ε) xϵB}).

I exemplet på bilden så blir μ(B) = 1 + 3 + 11 + 11 + 8 + 3 + 3 + 4 + 5 + 1 + 3 + 1 + 1 = 55, vilket är vårt mått på hur sammankopplad B är.

För att undersöka så att μ är ett väldefinierat mått kollar vi axiomen:

(i) μ(B) ≥ 0
(ii) μ(∅) = 0
(iii) μ av en uppräknelig union av disjunkta mängder är samma som summan av μ av varje mängd.

Att (i) stämmer för vårt mått följer av att den minsta mängd som innehåller ett element har måttet 1, eftersom vi då kan konstruera en boll runt det elementet.

Att (ii) stämmer följer av att den enda boll vi kan konstruera runt ett element i ∅, så att alla element i bollen är i ∅, är den tomma bollen.

Att (iii) stämmer inses snabbt, då måttet av A inte är beroende av måttet för B, ifall A och B är disjunkta.

Med hjälp av det här måttet kan vi som sagt mäta hur pass väl sammankopplad en grupp människor på Facebook är.

Leave a Reply

Your email address will not be published.