Är olika rum på webben topologier? Jag föreställer mig framför allt två stycken rum till att börja med – rummet av personer och vänskapsrelationer på Facebook; och rummet av artiklar och hyperlänkar på Wikipedia.
Låt oss definiera avståndet mellan två personer a och b på Facebook med grund i konceptet “länk”. Vi definierar detta predikat genom att x och y är “länkade” ifall det går att koppla samman dem genom vänskapsrelationer (så att t.ex. x är vän med z som är vän med t som är vän med y). Värdet på den här länken är antalet vänskapsrelationer som är involverade (i exemplet alltså 3). Vi definierar avståndet från a till b som den länk mellan dem med lägst värde.
 |
| Här ser vi tre olika länkar mellan a och b. Den blå länken har värde 5, den rosa värde 7 och den orangea värde 6. |
Så d(a,b) = inf{L | L är länk(a,b)}.
Är detta en väldefinierad metrik (metric) på rummet av personer på Facebook?
(i) d(a,b) = inf{L | L är länk(a,b)} = inf{L | L är länk(b,a)} = d(b,a)
(ii) d(a,b) kan inte vara lägre än noll, då inf{L | L är länk(a,b)} är antalet vänskapsrelationer för att komma från a till b – detta kan inte vara negativt.
(iii) d(a,b) = 0 endast om a och b är samma person; annars krävs det minst en vänskapsrelation för att komma från a till b.
(iv) Om d(a,b) = inf{länk(a,b)} = x, så är d(a,c) + d(c,b) = inf{L | L är länk(a,c)}+inf{L | L är länk(c,b)}, vilket som lägst kan vara x; det är det då c ingår i den länk mellan a och b som har lägst värde, dvs ifall c är en av de personer vars vänskaper ingår i kedjan. Om c inte är en av de personerna, så måste vägen från a till b via c vara längre än den kortaste vägen mellan a och b, så att d(a,b) ≤ d(a,c)+d(c,b).
 |
| Vi ser att d(a,c)+d(c,b) bara är samma som d(a,b) ifall den streckade relationen finns, annars är d(a,b) mindre. |
Då vet vi att d är en väldefinierad metrik.
Utifrån d kan vi sedan på standardmanér inducera en topologi T på rummet av Facebook-personer F, med bas-element av formen Bd(x,ε) – dvs mängden av alla personer vars avstånd till x definierat genom d är mindre än ε.
 |
| Här ser vi den röda mängden av alla personer inom avståndet 3 från x, och den blå mängden av alla personer inom avståndet 2 från y. |
Hur ser då rummet (F,T) ut?
Eftersom (F,T) är ett metriskt rum så är kompakthet samma sak som sekvenskompakthet (sequentially compact), så ifall varje oändlig sekvens i (F,T) innehåller en konvergent undersekvens (subsequence), så är rummet kompakt. Detta verkar trivialt sant för mig, då mängden användare på Facebook är ändlig, så en oändlig sekvens i (F,T) måste innehålla någon person en oändlig mängd gånger; definiera dessa som den konvergenta undersekvensen.
Ifall (F,T) är sammanhängande (connected) eller inte tror jag inte att jag kan svara på utan en djupare undersökning av hur rummet faktiskt ser ut. Vad jag kan konstatera är att det åtminstone kan finnas delmängder som inte är sammanhängande. Se bilden nedan.
 |
| A delas upp i Bd(y,3) och Bd(x,3) |
Detta kan ontologiskt förstås som att gruppen av människor i A kan delas in i två stycken kretsar eller sociala grupper, nämligen Bd(y,3) och Bd(x,3).
På liknande manér kan man föreställa sig rummet av artiklar på Wikipedia – W – och den metrik som skapas genom att titta på hyperlänkskedjor mellan artiklarna.
Definiera avståndet mellan två artiklar a och b i W genom att d(a,b) = inf{länkkedja(a,b)}, där en länkkedja är en “väg” av hyperlänkar inom W från a till b, och värdet på länkkedjan är antalet sådana hyperlänkar som används. Avståndet är alltså så många hyperlänkar inom W som krävs för att komma från a till b på snabbast vis.
Är detta en väldefinierad metrik på W?
Ja, enligt samma argumentation som med F.
Så vi har ett till topologiskt rum, nämligen (W,T), med topologi inducerad från metriken ovan.
Med dessa topologier som grund kan vi undersöka hur de rummen jag intresserar mig för ser ut. Jag intresserar mig främst för två frågor, initialt:
1. Kan man genom att undersöka (F,T) se ifall de traditionella indelningarna av samhället (t.ex. klassindelningar) speglas i (F,T), eller om man kanske måste uppdatera vilka sociala grupperingar som används i t.ex. sociologisk forskning?
2. Kan man genom att undersöka (W,T) se ifall olika ämnen som traditionellt separeras på akademin är lika separerade i (W,T) som på akademin, eller ifall tvärvetenskapligheten redan är ett faktum?